Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点F₁，F₂和上下两个顶点B₁，B₂是一个边长为2且∠F₁B₁F₂为60°的菱形的四个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F₂，斜率为k（k≠0）的直线与椭圆C相交于E，F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF₂的斜率为k′．求证：k•k′为定值．

Answer 1

分析：解：（1）由题意利用菱形和含30°角的直角三角形的性质可得a=2，b=

3

，c=1．即可得到椭圆C的方程．
（2）设过点F₂（1，0）的直线l的方程为：y=k（x-1）．设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），与椭圆方程联立即可得到根与系数的关系，．可得直线AE的方程及直线AF的方程，令x=3，得点M，N的坐标．利用中点坐标公式可得点P的坐标．即可得到直线PF₂的斜率为k′，把根与系数代入即可得出k•k′为定值．

解答：解：（1）由题意可得a=2，b=

3

，c=1．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设过点F₂（1，0）的直线l的方程为：y=k（x-1）．
设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，化为（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
显然△＞0，∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

（*）．
直线AE的方程为y=

y1

x1-2

(x-2)，直线AF的方程为y=

y2

x2-2

(x-2)，
令x=3，得点M(3，

y1

x1-2

)，N(3，

y2

x2-2

)．
∴点P(3，

1

2

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

))．
直线PF₂的斜率为k′=

1 2 ( y1 x1-2 + y2 x2-2 )-0

3-1

=

1

4

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

)
=

1

4

y2x1+x2y1-2(y1+y2)

x1x2-2(x1+x2)+4

=

1

4

2kx1x2-3k(x1+x2)+4k

x1x2-2(x1+x2)+4

．
把（*）代入得k^′=

1

4

•

2k• 4k2-12 3+4k2 -3k• 8k2 3+4k2 +4k

4k2-12 3+4k2 -2• 8k2 3+4k2 +4

=-

3

4k

．
∴k•k′=-

3

4

为定值．

点评：熟练掌握椭圆的标准及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线的点斜式方程、中点坐标公式、斜率计算公式等是解题的关键．