Question

（2013•东城区二模）已知数列{a_n}，a₁=1，a_2n=a_n，a_4n-1=0，a_4n+1=1（n∈N^*）．
（1）求a₄，a₇；
（2）是否存在正整数T，使得对任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n．

Answer 1

分析：（1）利用a₁=1，a_2n=a_n，a_4n-1=0，即可求a₄，a₇；
（2）假设存在正整数T，使得对任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n，则存在无数个正整数T，使得对任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n．对T分奇数、偶数进行讨论，即可得到结论．

解答：解：（1）∵a₁=1，a_2n=a_n，a_4n-1=0，
∴a₄=a₂=a₁=1；a₇=a_4×2-1=0．
（2）假设存在正整数T，使得对任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n．
则存在无数个正整数T，使得对任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n．
设T为其中最小的正整数．
若T为奇数，设T=2t-1（t∈N^*），则a_4n+1=a_4n+1+T=a_4n+1+2T=a_4（n+t）-1=0，与已知a_4n+1=1矛盾．
若T为偶数，设T=2t（t∈N^*），则a_2n+T=a_2n=a_n，
而a_2n+T=a_2n+2t=a_n+t，从而a_n+t=a_n．
而t＜T，与T为其中最小的正整数矛盾．
综上，不存在正整数T，使得对任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n．…（13分）

点评：本题考查数列递推式，考查学生的探究能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．