Question

在正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC的夹角是（　　）

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、75°

Answer 1

分析：以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法求解．

解答：解：如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，
建立空间直角坐标系O-xyz．
设OD=SO=OA=OB=OC=a，
则A（a，0，0），B（0，a，0），C（-a，0，0），P（0，-

a

2

，

a

2

），
则

CA

=（2a，0，0），

AP

=（-a，-

a

2

，

a

2

），

CB

=（a，a，0），
设平面PAC的一个法向量为

n

，
则

n

•

CA

=0，

n

•

AP

=0，
∴

2ax=0 -2ay+2az=0

，可取

n

=（0，1，1），
∴cos＜

CB

，n＞=

CB •n

| CB |•|n|

=

a

2a2 • 2

=

1

2

，
∴＜

CB

，n＞=60°，
∴直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°．
故选：A．

点评：本题考查直线与平面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．