Question

已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数）．

（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；

（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；

（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解答：

解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x²﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，

（2），当x∈[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]．

若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]_min=f（1）=1．　

若﹣2e²＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；

当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；

 当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．

故[f（x）]_min==．

若a≤﹣2e²，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e²，x=e时，f'（x）=0），

故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]_min=f（e）=a+e²．

综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e²＜a＜﹣2时，f（x）

的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e²时，f（x）的最小值为a+e²，

相应的x值为e．

（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x²﹣2x．

∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，

因而（x∈[1，e]）

令（x∈[1，e]），又，

当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，

从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，

故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．