Question

【题目】如图,三棱柱中,侧面为菱形且, , 分别为和的中点, , , ．

（Ⅰ）证明：直线∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（I）见解析;（II）．

【解析】试题分析：（I）取中点，可证， ， 两两互相垂直，建立以为原点， 分别为轴，建立空间直角坐标系，得出各点坐标，可求与平面的法向量，利用两向量垂直可证结论；（II）先求出二面角两半平面的法向量，利用法向量夹角与二面角平面角间关系可得结果．　

试题解析：解法一：∵，且为中点， ，∴，

又 ， ，∴ ， ，

又 ，∴平面，

取中点，则，即， ， 两两互相垂直，

以为原点， 分别为轴，建立空间直角坐标系如图（4）， ∴， ， ， ， ， ，

（I） ，设平面的法向量为 ，

则，取，

∵，∴，

又平面， ∴直线∥平面．

（II） 设平面的法向量为， ，

则 ，取，

又由（Ⅰ）知平面的法向量为，设二面角为，

∴，

∵ 二面角为锐角，∴ 二面角的余弦值为．

解法二：取中点，则，即，以为原点， ， 分别为轴，

建立空间直角坐标系如图（5），设点，

又， ，

∴，即，∴ ，

由 ， ， 可得：

，解得，

∴， ， ，

下同解法二．

解法三：（Ⅰ）如图（6），取中点，连接，则有，

∴为平行四边形， ∴∥，

又平面， 平面，∴ 直线∥平面．

（Ⅱ）由各棱长，易得，∴平面，

取中点，连接，过作于，连接，

如图（8），可证： 平面，

证明平面，可得，

故为所求的二面角的平面角，

在中，求得： ，故所求的二面角的余弦值为．

解法四：

（Ⅰ）如图（7），取中点，由∥，

平面，∴ 直线∥平面，

由∥， 平面，

∴ 直线∥平面，

又，∴平面∥平面，

又平面， ∴ 直线∥平面．

（Ⅱ）同解法一．