Question

已知函数f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+a（a为常数）．
（1）若x∈R，求f（x）的最大值及当f（x）取得最大值时自变量的集合；
（2）若x∈[ 0 ， 

π

2

 ]时，|f（x）|＜2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把函数解析式的第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可得到函数f（x）的最大值，根据正弦函数取最大值时角度的值列出关于x的方程，求出方程的解可得函数取最大值时x的集合；
（2）由x的范围，求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到函数f（x）的范围，求出原题中的绝对值不等式的解集，与f（x）的范围比较列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+a
=1+cos2x+

3

sin2x+a
=2sin（2x+

π

6

）+a+1，（4分）
且sin（2x+

π

6

）∈[-1，1]，
∴f（x）_max=a+3，（5分）
此时2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，解得x=kπ+

π

6

，
则满足题意的x集合为{ x|x=kπ+

π

6

 ， k∈Z }；（7分）
（2）当x∈[ 0 ， 

π

2

 ]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴a≤f（x）≤3+a，（10分）
由|f（x）|＜2．即-2＜f（x）＜2，
得

a＞-2 a+3＜2

，
解得a∈（-2，-1）．（14分）

点评：此题考查了三角函数的化简求值，以及正弦函数的定义域及值域，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，不等式恒成立满足的条件以及正弦函数的图象与性质．灵活运用三角函数的恒等变换把函数解析式化为一个角的正弦函数是解第一问的关键，第二问利用自变量x的范围，求出函数f（x）的值域，与绝对值不等式的解集比较，根据不等式恒成立列出关于a的不等式是解题的关键．