Question

若实数x，y满足，则xy的最小值为________．

Answer 1

分析：配方可得2cos²（x+y-1）==（x-y+1）+，由基本不等式可得（x+y+1）+≤2，或（x-y+1）+≤-2，进而可得cos（x+y-1）=±1，x=y=，由此可得xy的表达式，取k=0可得最值．
解答：∵，
∴2cos²（x+y-1）=
∴2cos²（x+y-1）=，
故2cos²（x+y-1）==（x-y+1）+，
由基本不等式可得（x+y+1）+≥2，或（x-y+1）+≤-2，
∴2cos²（x+y-1）≥2，由三角函数的有界性可得2cos²（x+y-1）=2，
故cos²（x+y-1）=1，即cos（x+y-1）=±1，此时x-y+1=1，即x=y
∴x+y-1=kπ，k∈Z，故x+y=2x=kπ+1，解得x=，
故xy=x•x=，当k=0时，xy的最小值，
故答案为：
点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，得出cos（x+y-1）=±1是解决问题的关键，属中档题．