题目内容

过点A(a,b)任作互相垂直的两条直线l1与l2,且l1与x轴交于M点,l2与y轴交于N点,求线段MN中点P的轨迹方程及|PA|的最小值.

解：设P(x,y),l1的斜率为k,

∵l1⊥l2,

∴l2的斜率为-.

∴

对l1:令y=0,

∴x=a-.

∴M(a-,0).

对l2:令x=0,

∴y=b+.

∴N(0,b+).

∴

消去k得2ax+2by-a2-b2=0.

当直线l1的斜率不存在或等于0时,亦满足上式.

∴P点轨迹方程为2ax+2by-a2-b2=0.

当PA与直线2ax+2by-a2-b2=0垂直时,PA的值最小.

∴|PA|min==.

练习册系列答案
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已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，
3
)，以右焦点F2为圆心作圆与两条渐近线相切，圆面积恰为12π．
（1）求双曲线的方程；
（2）任作一直线l与双曲线右支交于两点A，B，与渐近线交于两点C，D，A在B，C两点之间，求证：|AC|=|BD|．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，y＞0)的离心率为
3
2
，A、B为它的左、右焦点，过一定点N（1，0）任作两条互相垂直的直线与C分别交于点P和Q，且|
PA
+
PB
|的最小值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线NP、NQ，使得向量
PA
+
PB
与
QA
+
QB
互相垂直？若存在，求出点P、Q的横坐标，若不存在，请说明理由．
过点M(p,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(p＞0)于P、Q两点,则+的值为

A.              B.              C.              D.

过点M(p,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(p＞0)于P、Q两点,则+的值为

A.              B.              C.              D.

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