Question

（2012•南宁模拟）已知F，F'分别是椭圆C₁：17x²+16y²=17的上、下焦点，直线l₁过点F'且垂直于椭圆长轴，动直线l₂垂直l₁于点G，线段GF的垂直平分线交l₂于点H，点H的轨迹为C₂．
（Ⅰ）求轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）若动点P在直线l：x-y-2=0上运动，且过点P作轨迹C₂的两务切线PA、PB，切点为A、B，试猜想∠PFA与∠PFB的大小关系，并证明你的结论的正确性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆方程确定椭圆半焦距长及焦点坐标，从而可得动点H到定直线l：y=-

1

4

与定点F（0，

1

4

）的距离相等，利用抛物线的定义，即可确定轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）猜想∠PFA=∠PFB．证明先确定切线AP、BP的方程，联立方程组可解得P的坐标，进而利用向量的夹角公式，即可证得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵17x²+16y²=17，∴

y2

17 16

+x2=1
∴椭圆半焦距长为

1

4

，F′（0，-

1

4

），F（0，

1

4

），
∵|HG|=|HF|
∴动点H到定直线l：y=-

1

4

与定点F（0，

1

4

）的距离相等
∴动点H的轨迹是以定直线l；y=-

1

4

为准线，定点F（0，

1

4

）为焦点的抛物线
∴轨迹C₂的方程是x²=y；
（Ⅱ）猜想∠PFA=∠PFB
证明如下：由（Ⅰ）可设A(x1，x12)，B(x2，x22)（x₁≠x₂）
∴切线AP的方程为：2x1x-y-x12=0，切线BP的方程为：2x2x-y-x22=0
联立方程组可解得P的坐标为xP=

x1+x2

2

，y_P=x₁x₂
∵P在抛物线外，∴|

FP

|≠0
∵

FA

=(x1，x12-

1

4

)，

FP

=（

x1+x2

2

，x1x2-

1

4

），

FB

=(x2，x22-

1

4

)
∴cos∠AFP=

FP • FA

| FP || FA |

=

x1x2+ 1 4

| FP |

同理cos∠BFP=

FP • FB

| FP || FB |

=

x1x2+ 1 4

| FP |

∴cos∠AFP=cos∠BFP
∴∠PFA=∠PFB．

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的切线，考查向量知识的运用，正确运用向量的夹角公式是关键．