Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²=2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

Answer 1

解：（1）设过点T（3，0）的直线l交抛物线y²=2x于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，
此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，﹣）．
∴=3；
当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣3），其中k≠0，
由得ky²﹣2y﹣6k=0y₁y₂=﹣6
又∵，
∴，
综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；
（2）逆命题是：设直线l交抛物线y²=2x于A、B两点，
如果=3，那么该直线过点T（3，0）．该命题是假命题．
例如：取抛物线上的点A（2，2），B（，1），
此时=3，
直线AB的方程为：，而T（3，0）不在直线AB上；
说明：由抛物线y²=2x上的点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）满足=3，
可得y₁y₂=﹣6，或y₁y₂=2，
如果y₁y₂=﹣6，可证得直线AB过点（3，0）；
如果y₁y₂=2，可证得直线AB过点（﹣1，0），而不过点（3，0）．