Question

如图，四边形ABCD为矩形，BC上平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE．
（3）若AB=10，AE=6，BC=6，求CE与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中BC⊥平面ABE，BF⊥平面ACE，由线面垂直的性质可得BC⊥AE，AE⊥BF，再由线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE，最后再由线面垂直的性质得到AE⊥BE；
（2）设BE中点为P，连接MP，NP，由三角形中位线定理，可得NP∥AD，MP∥AE，结合面面平行的判定定理可得平面MNP∥平面ADE，最后由面面平行的性质可得MN∥平面DAE．
（3）过E作G垂直AB，连接GC，根据线面夹角的定义，可得∠EGC为EC与平面ABCD所成的角，解三角形EGC即可得到答案．

解答：证明：（1）由题意得：

BC⊥平面ABE AE?平面ABE ?BC⊥AE BF⊥平面ACE?AE⊥BF

?AE⊥平面BCE
∴AE⊥BE
（2）设BE中点为P，连接MP，NP，
NP∥BC?NP∥AD，MP∥AE
所以平面MNP∥平面ADE
所以MN∥平面ADE
解：（3）过E作G垂直AB，连接GC
易得EG⊥平面ABCD
则∠EGC为EC与平面ABCD所成的角
∵AB=10，AE=6，BC=6，
∴sin∠ECG=

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点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定和性质，熟练掌握空间直线与平面位置关系的定义，判定，性质和几何特征是解答本题的关键．