Question

下面命题：
①当x＞0时，2x+

1

2x

的最小值为2；
②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；
③将函数y=cos2x的图象向右平移

π

6

个单位，可以得到函数y=sin（2x-

π

6

）的图象；
④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．
其中正确的命题是（　　）

• A、①②④
• B、②④
• C、②③
• D、③④

Answer 1

分析：①由于基本不等式等号成立的条件不具备，故2x+

1

2x

的最小值大于2，故①不正确．
②设过定点P（2，3）的直线的方程，求出它与两坐标轴的交点，根据条件可得4k²+14k+9=0，或 
4k²-38k+9=0． 而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条．
③将函数y=cos2x的图象向右平移

π

6

个单位，可以得到函数y-sin（2x-

π

6

）的图象，故③不正确．
④若△ABC中，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形．

解答：解：①∵2x+

1

2x

≥2

1

=2，（当且仅当 x=0时，等号成立），故当x＞0时，2x+

1

2x

的最小值大于2，
故①不正确．
②设过定点P（2，3）的直线的方程为 y-3=k（x-2），它与两坐标轴的交点分别为
（2-

3

k

，0），（0，3-2k），
根据直线与两坐标轴围成的面积为13=

1

2

|(3-2k)×(2-

3

k

)|，
化简可得 4k²+14k+9=0，或 4k²-38k+9=0． 而这两个方程的判别式都大于0，
故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条，故②正确．
③将函数y=cos2x的图象向右平移

π

6

个单位，可以得到函数y=cos2（ x-

π

6

）=sin[

π

2

-（2x-

π

3

 ）]
=sin（ 

π

6

- 2x ）=-sin（2x-

π

6

）的图象，故③不正确．
④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形，故④正确．
故选B．

点评：本题基本不等式取等号的条件，过定点的直线，三角函数的图象变换，诱导公式的应用，检验基本不等式等号成立的条件，是解题的易错点．