Question

（2010•朝阳区二模）已知函数f(x)=lnx+

ax2

2

-(a+1)x，a∈R，且a≥0．
（Ⅰ）若f'（2）=1，求a的值；
（Ⅱ）当a=0时，求函数f（x）的最大值；
（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数导数，根据f'（2）=1，即可得到a的值．
（Ⅱ）当a=0时，求函数f（x）的导数，令导数等于0，解得极值点，再借助函数在定义域上的单调性，判断极值点处取得最大值．
（Ⅲ）求出函数的导数，令导数大于0，解得函数的增区间，令导数小于0，解得函数的减区间．因为函数中含有参数，注意对参数讨论．

解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

+ax-(a+1)．
由f'（2）=1，解得a=

3

2

．
（Ⅱ）由f（x）=lnx-x，得f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

．
由f′(x)=

1-x

x

＞0，解得0＜x＜1；由f′(x)=

1-x

x

＜0，解得x＞1．
所以函数f（x）在区间（0，1）递增，（1，+∞）递减．
因为x=1是f（x）在（0，+∞）上唯一一个极值点，
故当x=1时，函数f（x）取得最大值，最大值为f（1）=-1．
（Ⅲ）因为f′(x)=

1

x

+ax-(a+1)=

ax2-(a+1)x+1

x

=

(ax-1)(x-1)

x

（1）当a=0时，f′(x)=

1-x

x

．令f′(x)=

1-x

x

＞0解得0＜x＜1
（2）a＞0时，
令

(ax-1)(x-1)

x

=0，解得x=

1

a

或x=1．
（ⅰ）当

1

a

＞1即0＜a＜1时，
由

ax2-(a+1)x+1

x

＞0，及x＞0得 ax²-（a+1）x+1＞0，
解得0＜x＜1，或x＞

1

a

；
（ⅱ）当

1

a

=1即a=1时，
因为x＞0，f′(x)=

x2-2x+1

x

=

(x-1)2

x

≥0恒成立．
（ⅲ）当

1

a

＜1即a＞1时，由

ax2-(a+1)x+1

x

＞0，及x＞0得 ax²-（a+1）x+1＞0，
解得0＜x＜

1

a

，或x＞1；
综上所述，
当a=0时，函数f（x）的递增区间是（0，1）；
当0＜a＜1时，函数f（x）的递增区间是（0，1），(

1

a

，+∞)；
当a=1时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；
当a＞1时，函数f（x）的递增区间是(0，

1

a

)，（1，+∞）．

点评：本题主要考查了导数与函数极值，最值，单调区间的关系．