Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x²+ax﹣3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有 成立．

Answer 1

解：（1）f'（x）=lnx+1，
当 ，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当 ，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
① ，t无解；
② ，即 时， ；
③ ，即 时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt；
∴ ．
（2）2xlnx≥﹣x²+ax﹣3，则 ，
设，则 ， x∈（0，1），
h'（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞），
h'（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）_min=h（1）=4
因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）_min=4；
（3）问题等价于证明 ，
由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是 ，当且仅当 时取到
设 ，
则 ，易得 ，当且仅当x=1时取到，
从而对一切x∈（0，+∞），都有 成立．