Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l，被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

假设直线l存在，设l的方程为y=x+m.                       1分

由，得2x²+2(m+1)x+m²+4m-4=0.     （*）        3分

设A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂)，则x₁+x₂=-(m+1)，x₁x₂=.

∵以AB为直径的圆为(x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0,                  7分

若它经过原点，则x₁x₂+y₁y₂=0.又y₁y₂=(x₁+m)(x₂+m)=x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²,

∴2x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²=0.∴m²+3m-4=0,m=-4或m=1.                9分

当m=-4或m=1时，（*）式的Δ＞0,                            10分

∴所求直线l的方程是x-y-4=0或x-y+1=0.                        12分