Question

设变量a，b满足约束条件：

b≥a a+3b≤4，z=a-3b a≥-2.

的最小值为m，则函数f(x)=

1

3

x3+

m

16

x2-2x+2的极小值等于（　　）

• A．-

  4

  3

• B．-

  1

  6

• C．2
• D．

  19

  6

Answer 1

分析：先根据约束条件画出可行域，设z=a-3b，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=a-3b过可行域内的点A时，从而得到z=a-3b的最小值m，最后将m的值代入函数表达式利用导数求出它的极小值即可．

解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=a-3b，
将z的值转化为直线z=a-3b在y轴上的截距，
当直线z=a-3b经过点A（-2，2）时，z最小，
最小值为：m=-8
∴f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-2x+2
f′（x）=x²-x-2
∴f（x）极值点是：x=2或-1．
f（x）的极小值等于f（2）=-

4

3

故选A．

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组、利用导数研究函数的极值，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．