Question

已知函数f（x）=

2

sin（

π

2

-x）sin（x+

π

4

）-

1

2

．
（1）求过函数f（x）图象上最高点的对称轴方程；
（2）当x∈[-

π

4

，0]时，判断在函数f（

π

4

+x）的切线中是否存在互相垂直的两条切线，若存在，请求出这对切点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）通过诱导公式以及两角和的正弦函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的最值求出对称轴方程．
（2）通过函数的半小时求出函数的导数，利用斜率与导数的关系，求出斜率乘积为-1，说明存在满足题意的切线，然后求出切点坐标．

解答：解：（1）因为f（x）=

2

sin（

π

2

-x）sin（x+

π

4

）-

1

2

=

2

cosx（

2

2

sinx+

2

2

cosx）-

1

2

=

1

2

sin2x+cos²x-

1

2

=

1

2

（sin2x+cos2x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)．
令sin(2x+

π

4

)=1可得2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
所以x=kπ+

π

8

，k∈Z．
（2）由f（

π

4

+x）=

2

2

sin(

π

2

+2x+

π

4

)=

2

2

cos(2x+

π

4

)可得
f′（x）=

2

sin(2x+

π

4

)．x∈[-

π

4

，0]，所以2x+

π

4

∈[-

π

4

，

π

4

]，可得

2

sin(2x+

π

4

)∈[-1，1]，
由于-1×1=-1，所以函数f（x）的切线中存在互相垂直的两条切线，且它们的斜率分别为-1，1，
令

2

sin(2x+

π

4

)=-1和

2

sin(2x+

π

4

)=1，
可得切点坐标分别为（-

π

4

，-1），（0，1）．（10分）

点评：本题考查函数的解析式的应用，三角函数的化简，函数的最值，函数的导数与切线的斜率的关系，考查计算能力，转化思想的应用．