Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，，D是棱CC₁的中点．
（Ⅰ）证明：A₁D⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：先根据条件得到BC⊥平面ACC₁A₁．建立空间直角坐标系，求出各对应点的坐标，
（Ⅰ）求出向量A₁D，B₁C₁，AB₁的坐标，只要证得其数量积为0即可得到结论．
（Ⅱ）先求出两个平面的法向量，再代入夹角计算公式即可求出结论．
解答：解：∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴BC⊥CC₁．
∵AC∩CC₁=C，∴BC⊥平面ACC₁A₁．                         …（2分）
以C为坐标原点，CB、CC₁、CA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，0，0），B（1，0，0），，，，，．                                                     …（4分）
（Ⅰ），，，
∵=0，=0，
∴，，即A₁D⊥B₁C₁，A₁D⊥AB₁．
∵B₁C₁∩AB₁=B₁，∴A₁D⊥平面AB₁C₁．                             …（7分）
（Ⅱ）设n=（x，y，z）是平面ABB₁的法向量，由得
取z=1，则是平面ABB₁的一个法向量．                   …（10分）
又是平面AB₁C₁的一个法向量，…（12分）
且与二面角B-AB₁-C₁的大小相等．
由cos＜，＞==-．
故二面角B-AB₁-C₁的余弦值为．                               …（14分）
点评：本小题主要考查空间中线面关系，二面角及其平面角、坐标方法的运用等基础知识，考查数形结合的数学思想和方法，以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．