题目内容
已知函数f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）求证：f(a)+f(b)=f(
)；
（3）已知a，b∈（-1，1），且f(
)=1，f(
)=2，求f（a），f（b）的值．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）求证：f(a)+f(b)=f(
| a+b |
| 1+ab |
（3）已知a，b∈（-1，1），且f(
| a+b |
| 1+ab |
| a-b |
| 1+ab |
分析：（1）根据函数奇偶性的定义判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）直接代入等式即可证明f(a)+f(b)=f(
)；
（3）根据条件，解方程即可求f（a），f（b）的值．
（2）直接代入等式即可证明f(a)+f(b)=f(
| a+b |
| 1+ab |
（3）根据条件，解方程即可求f（a），f（b）的值．
解答：解：（1）f（x）为奇函数．
要使函数f（x）有意义，则x+1＞0且1-x＞0，
解得-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1），
∴定义域关于原点对称，
又f（-x）=lg（1-x）-lg（1+x）=-[lg（1+x）-lg（1-x）]=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）∵f(a)+f(b)=lg
+lg
=lg
，f(
)=lg
=lg
，
∴f(a)+f(b)=f(
)．
（3）∵f(a)+f(b)=f(
)，
∴f（a）+f（b）=1，
又f（a）+f（-b）=2，
∴f（a）-f（b）=2，
由此可得：f(a)=
，f(b)=-
．
要使函数f（x）有意义，则x+1＞0且1-x＞0，
解得-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1），
∴定义域关于原点对称，
又f（-x）=lg（1-x）-lg（1+x）=-[lg（1+x）-lg（1-x）]=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）∵f(a)+f(b)=lg
| 1+a |
| 1-a |
| 1+b |
| 1-b |
| 1+a+b+ab |
| 1-a-b+ab |
| a+b |
| 1+ab |
1+
| ||
1-
|
| 1+a+b+ab |
| 1-a-b+ab |
∴f(a)+f(b)=f(
| a+b |
| 1+ab |
（3）∵f(a)+f(b)=f(
| a+b |
| 1+ab |
∴f（a）+f（b）=1，
又f（a）+f（-b）=2，
∴f（a）-f（b）=2，
由此可得：f(a)=
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题主要考查对数的基本运算和对数的性质，以及函数奇偶性的判断，考查学生的运算能力．
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