Question

（2013•杭州一模）设函数f（x）=|log_ax|（0＜a＜1）的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[0，1]，若n-m的最小值为

1

3

，则实数a的值为（　　）

• A．

  1

  3

  或

  2

  3

• B．

  2

  3

  或

  3

  4

• C．

  1

  4

  或

  1

  3

• D．

  1

  4

  或

  3

  4

Answer 1

分析：通过分类讨论和利用对数函数的单调性即可得出．

解答：解：①若1≤m＜n，则f（x）=-log_ax，
∵f（x）的值域为[0，1]，∴f（m）=0，f（n）=1，解得m=1，n=

1

a

，
又∵n-m的最小值为

1

3

，∴

1

a

-1≥

1

3

，及0＜a＜1，当等号成立时，解得a=

3

4

．
②若0＜m＜n＜1，则f（x）=log_ax，
∵f（x）的值域为[0，1]，∴f（m）=1，f（n）=0，解得m=a，n=1，
又∵n-m的最小值为

1

3

，∴1-a≥

1

3

，及0＜a＜1，当等号成立时，解得a=

2

3

．
③若0＜m＜1＜n时，不满足题意．
故选B．

点评：熟练掌握分类讨论的思想方法和对数函数的单调性是解题的关键．