Question

7．已知数列{a }满足a=$\frac{4}{3}$，a_n+1-1=a_n²-a_n （n∈N^*），则m=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$的整数部分是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 先判断数列{a_n}是单调递增数列，再根据数列的递推公式利用裂项求和即可得到m=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$=3-$\frac{1}{{a}_{2018}-1}$，再根据数列的单调性判断出a₂₀₁₈＞2，问题得以解决

解答 解：∵a=$\frac{4}{3}$，a_n+1-1=a_n²-a_n （n∈N^*），
∴a_n+1-a_n=a_n²+1＞0，
∴a_n+1＞a_n，
∴数列{a_n}是单调递增数列，
由a_n+1-1=a_n²-a_n=a_n（a_n-1），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，
∴m=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$=（$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2}-1}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}-1}$-$\frac{1}{{a}_{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{2017}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2018}-1}$）=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2018}-1}$=3-$\frac{1}{{a}_{2018}-1}$，
由a=$\frac{4}{3}$＞1，则a_n+1-a_n=（a_n-1）²＞0，
∴a₂=1+$\frac{4}{9}$，a₃=1+$\frac{52}{81}$，a₄=1+$\frac{6916}{6561}$＞2，
…，
a₂₀₁₈＞2，
∴0＜$\frac{1}{{a}_{2018}-1}$＜1，
∴2＜m＜3，
∴整数部分是2，
故选：B

点评 本题考查了数列与函数的特征，以及数列的递推关系裂项求和，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题