Question

（2013•德州一模）已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
（1）求证：AD⊥平面PBE；
（2）若Q是PC的中点，求证PA∥平面BDQ；
（3）若V_P-BCDE=3V_Q-ABCD，试求

CP

CQ

的值．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定定理证明．（2）利用线面平行的判定定理证明．（3）根据体积条件确定线段的比值．

解答：解：（1）由E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE，
又底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
所以AB=BD，又E是AD的中点，所以AD⊥BE，
又PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．
（2）连结AC交BD于O，连OQ
因为O是AC的中点，Q是PC的中点，
所以OQ∥PA．又PA?面BDQ，OQ?BDQ，
所以PA∥平面BDQ．
（3）设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为h₁，h₂，
所以VP-BCDE=

1

3

S△BCDEh1，VQ-ABCD=

1

3

SABCDh2，
因为V_P-BCDE=3V_Q-ABCD，且底面积SBCDE=

3

4

SABCD，
所以

CP

CQ

=

h1

h2

=4．

点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理．