Question

已知抛物线x²=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且

AF

=λ

FB

(λ＞0)．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（Ⅰ）证明

FM

.

AB

为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_o，y_o），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x₁+x₂和x₁x₂，根据曲线4y=x²上任意一点斜率为y′=

x

2

，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得

FM

和

AB

，进而可求得

FM

•

AB

的结果为0，进而判断出AB⊥FM．
（2）利用（1）的结论，根据x₁+x₂的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_o，y_o），焦点F（0，1），准线方程为y=-1，
显然AB斜率存在且过F（0，1）
设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x²消去y得：x²-4kx-4=0，
判别式△=16（k²+1）＞0．
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
于是曲线4y=x²上任意一点斜率为y′=

x

2

，则易得切线AM，BM方程分别为y=（

1

2

）x₁（x-x₁）+y₁，y=（

1

2

）x₂（x-x₂）+y₂，其中4y₁=x₁²，4y₂=x₂²，联立方程易解得交点M坐标，x_o=

x1+x2

2

=2k，y_o=

x1x2

4

=-1，即M（

x1+x2

2

，-1）
从而，

FM

=（

x1+x2

2

，-2），

AB

（x₂-x₁，y₂-y₁）

FM

•

AB

=

1

2

（x₁+x₂）（x₂-x₁）-2（y₂-y₁）=

1

2

（x₂²-x₁²）-2[

1

4

（x₂²-x₁²）]=0，（定值）命题得证．
这就说明AB⊥FM．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=

1

2

|AB||FM|．
∵

AF

=λ

FB

(λ＞0)，
∴（-x₁，1-y₁）=λ（x₂，y₂-1），即

-x1=λx2 1-y1=λ(y2-1)

，
而4y₁=x₁²，4y₂=x₂²，
则x₂²=

4

λ

，x₁²=4λ，
|FM|=

( x1+x2 2 )2+(-2)2

=

1 4 x12+ 1 4 x22+ 1 2 x1x2+4

=

λ+ 1 λ +2

=

λ

+

1

λ

．
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离，所以
|AB|=|AF|+|BF|=y₁+y₂+2=

1

4

x

2 1

+

1

4

x

2 2

+2=λ+

1

λ

+2=（

λ

+

1

λ

）²．
于是S=

1

2

|AB||FM|=

1

2

（

λ

+

1

λ

）³，
由

λ

+

1

λ

≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．

点评：本题主要考查了抛物线的应用．抛物线与直线的关系和抛物线的性质等都是近几年高考的热点，故应重点掌握．