题目内容
已知函数f（x）=3ax2+2bx+c．若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，
（1）证明：a＞0且-2＜
＜-1；
（2）证明：函数f（x）在（0，1）内有两个零点．
（1）证明：a＞0且-2＜
| b |
| a |
（2）证明：函数f（x）在（0，1）内有两个零点．
证明：（1）∵f（0）＞0，∴c＞0，
又∵f（1）＞0，即3a+2b+c＞0．①
而a+b+c=0即b=-a-c代入①式，
∴3a-2a-2c+c＞0，即a-c＞0，∴a＞c．
∴a＞c＞0．又∵a+b=-c＜0，∴a+b＜0．
∴1+
＜0，∴
＜-1．
又c=-a-b，代入①式得，
3a+2b-a-b＞0，∴2a+b＞0，
∴2+
＞0，∴
＞-2．故-2＜
＜-1．
（2）由（1）中-2＜
＜-1，
∴
＜
＜
即函数f（x）=3ax2+2bx+c图象的对称轴x=
在区间（0，1）上
又∵f（
）=
＜0
故函数f（x）在（0，
），（
，1）内各有一个零点
故函数f（x）在（0，1）内有两个零点
又∵f（1）＞0，即3a+2b+c＞0．①
而a+b+c=0即b=-a-c代入①式，
∴3a-2a-2c+c＞0，即a-c＞0，∴a＞c．
∴a＞c＞0．又∵a+b=-c＜0，∴a+b＜0．
∴1+
| b |
| a |
| b |
| a |
又c=-a-b，代入①式得，
3a+2b-a-b＞0，∴2a+b＞0，
∴2+
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
（2）由（1）中-2＜
| b |
| a |
∴
| 1 |
| 3 |
| b |
| -3a |
| 2 |
| 3 |
即函数f（x）=3ax2+2bx+c图象的对称轴x=
| b |
| -3a |
又∵f（
| b |
| -3a |
| 12ac-4b2 |
| 12a |
故函数f（x）在（0，
| b |
| -3a |
| b |
| -3a |
故函数f（x）在（0，1）内有两个零点
练习册系列答案
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