Question

已知A、B、C是三角形ABC的三内角，且

m

=（sinB-sinA，sinB-sinC），

n

=（sinB+sinA，-sinC），并且

m

•

n

=0．
（1）求角A的大小．
（2）f(B)=sin2

B

2

+2sin

B

2

cos

B

2

+3cos2

B

2

，求f（B）的递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用

m

•

n

=0，推出sin²B-sin²A-sinBsinC+sin²C=0，由正弦定理得b²-a²+bc+c²=0，然后利用余弦定理求出角A的大小．
（2）化简f(B)=sin2

B

2

+2sin

B

2

cos

B

2

+3cos2

B

2

为

2

sin(B+

π

4

)+2，根据B+C的范围得到

π

4

＜B+

π

4

≤

π

2

，求出函数f（B）的递增区间．

解答：解：（1）由

m

•

n

=0
得（sinB-sinA）（sinB+sinA）-sinC（sinB-sinC）=0
即sin²B-sin²A-sinBsinC+sin²C=0（2分）
由正弦定理得b²-a²+bc+c²=0
即b²+c²-a²=bc（4分）
由余弦定理得cosA=

b2+ c 2   -a2

2bc

=

1

2

又0＜A＜π，所以A=

π

3

.（6分）
（2）f(B)=

1-cosB

2

+sinB+3×

1+cosB

2

=cosB+sinB+2=

2

sin(B+

π

4

)+2，（8分）
因为B+C=

2π

3

，且B，C均为△ABC的内角，
所以0＜B＜

2π

3

，
所以

π

4

＜B+

π

4

＜

11π

12

，
又

π

4

＜B+

π

4

≤

π

2

，
即0＜B≤

π

4

时，f（B）为递增函数，
即f（B）的递增区间为(0，

π

4

].（12分）

点评：本题考查正弦函数的单调性，同角三角函数间的基本关系，考查计算能力，是中档题．