Question

(本小题满分14分）

已知函数(为自然对数的底数)

   （1）当时，求的单调区间；

   （2）若函数在上无零点，求的最小值；

   （3）若对任意给定的，使得

         成立，求的取值范围。

Answer 1

解：（1）当时，    …………1分

由由    

故的单调减区间为单调增区间为  …………2分

   （2）因为在上恒成立不可能，

故要使函数在上无零点，

只要对任意的恒成立，

即对恒成立。   …………3分

令

则…………4分

再令

在上为减函数，于是

从而，，于是在上为增函数

故要使恒成立，只要

综上，若函数在上无零点，则的最小值为…………7分

   （3）

当时，函数单调递增；当时，函数 单调递减

所以，函数   …………8分

当时，不合题意；

当时，

故     ①    …………9分

此时，当 变化时的变化情况如下：

	—	0	+
	单调减	最小值	单调增

对任意给定的，在区间上总存在两个不同的

使得成立，当且仅当满足下列条件

②③

  

令

令，得

当时，函数单调递增

当时，函数单调递减

所以，对任意有

即②对任意恒成立。       …………12分

由③式解得：    ④   …………13分

综合①④可知，当

在 使成立。…………14分