题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+2n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通向公式；
（Ⅱ）令b_n= $数学公式$ （n∈N^*），数列{b_n}的前n项和T_n，求证： $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）n=1时，a₁=S₁=3，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-（（n-1）²+2（n-1））=2n+1
当n=1时上式也成立，
故数列数列{a_n}的通向公式为a_n=2n+1，（n∈N^*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，
所以b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），
所以Tn= $\text{[math]}$ -（1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ++ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
即数列{b_n}的前n项和 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）由题意知a₁=3，n≥2时a_n=S_n-S_n-1=2n，即可求出通项公式；
（II）先由（1）求得数列{b_n}的通项公式并整理成b_n= $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），然后利用列项求和求出Tn= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）求出数列{b_n}的前n项和 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了数列的求和以及等差数列的通项公式，此题采取裂项的方法求和，属于基础题．