Question

如图，已知抛物线C：y²=2px和⊙M：（x-4）²+y²=1，过抛物线C上一点H（x，y）（y≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用点M到抛物线准线的距离为，可得，从而可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）法一：根据当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得k_HE=-k_HF，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），可得y₁+y₂=-2y_H=-4，从而可求直线EF的斜率；
法二：求得直线HA的方程为，与抛物线方程联立，求出E，F的坐标，从而可求直线EF的斜率；
（Ⅲ）法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出直线HA的方程，直线HB的方程，从而可得直线AB的方程，令x=0，可得，再利用导数法，即可求得t的最小值．
法二：求以H为圆心，HA为半径的圆方程，⊙M方程，两方程相减，可得直线AB的方程，当x=0时，直线AB在y轴上的截距（m≥1），再利用导数法，即可求得t的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵点M到抛物线准线的距离为=，
∴，∴抛物线C的方程为y²=x．（2分）
（Ⅱ）法一：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴k_HE=-k_HF，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），∴，∴，
∴y₁+y₂=-2y_H=-4．（5分）
∴．（7分）
法二：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴∠AHB=60°，可得，，
∴直线HA的方程为，
联立方程组，得，
∵
∴，．（5分）
同理可得，，∴．（7分）
（Ⅲ）法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵，∴，
∴直线HA的方程为（4-x₁）x-y₁y+4x₁-15=0，
同理，直线HB的方程为（4-x₂）x-y₂y+4x₂-15=0，
∴，，（9分）
∴直线AB的方程为，
令x=0，可得，
∵，∴t关于y的函数在[1，+∞）上单调递增，
∴当y=1时，t_min=-11．（12分）
法二：设点H（m²，m）（m≥1），HM²=m⁴-7m²+16，HA²=m⁴-7m²+15．
以H为圆心，HA为半径的圆方程为（x-m²）²+（y-m）²=m⁴-7m²+15，①
⊙M方程：（x-4）²+y²=1．②
①-②得：直线AB的方程为（2x-m²-4）（4-m²）-（2y-m）m=m⁴-7m²+14．（9分）
当x=0时，直线AB在y轴上的截距（m≥1），
∵，∴t关于m的函数在[1，+∞）上单调递增，
∴当m=1时，t_min=-11．（12分）
点评：本题以抛物线与圆的方程为载体，考查抛物线的标准方程，考查直线方程，同时考查利用导数法解决函数的最值问题，综合性较强．