Question

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F₁(-3,0),一条渐近线的方程是-2y=0.

(1)求双曲线C的方程;

(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围.

Answer 1

答案：本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.

解:(1)设双曲线C的方程为=1(a＞0,b＞0).

由题设得解得

所以双曲线C的方程为=1.

(2)设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),

点M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)的坐标满足方程组

将①式代入②式,得=1,

整理得(5-4k²)x²-8kmx-4m²-20=0.

此方程有两个不等实根,于是5-4k²≠0,且Δ=(-8km)²+4(5-4k²)(4m²+20)＞0.

整理得m²+5-4k²＞0.                                                           ③

由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x₀,y₀)满足x₀=,y₀=kx₀+m =.

从而线段MN的垂直平分线的方程为y=.

此直线与x轴,y轴的交点坐标分别为(,0),(0,).

由题设可得||·||=.

整理得m²=k≠0.

将上式代入③式得+5-4k²＞0,

整理得(4k²-5)(4k²-|k|-5)＞0,k≠0.

解得0＜|k|＜或|k|＞.

所以k的取值范围是(-∞,)∪(,0)∪(0,)∪(,+∞).