Question

设函数f（x）=xsinx（x∈R），
（Ⅰ）证明f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，其中k为整数；
（Ⅱ）设x₀为f（x）的一个极值点，证明；
（Ⅲ）设f（x）在(0，+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列a₁，a₂，…，a_n，…，证明。

Answer 1

（Ⅰ）证明：由函数f (x)的定义，对任意整数k， 有 ；
（Ⅱ）证明：函数f（x）在定义域R上可导， ， ① 令f′（x）=0，得sinx+xcosx=0， 显然，对于满足上述方程的x有cosx≠0， 上述方程化简为x=-tanx， 如图所示，此方程一定有解， f（x）的极值点x0一定满足， 由， 因此，；
（Ⅲ）证明：设x0＞0是f′（x）=0的任意正实根， 即， 则存在一个非负整数k，使， 即x0在第二或第四象限内， 由①式，在第二象限或第四象限中的符号 可列表如下： 所以满足的正根x0都为f（x）的极值点， 由题设条件，为方程x=-tanx的全部正实根且满足 ， 那么对于n=1，2，…， ， ② 由于， 则， 由于， 由②式知， 由此可知必在第二象限，即； 综上，。