Question

（2013•哈尔滨一模）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
（1）BE•DE+AC•CE=CE²；
（2）E，F，C，B四点共圆．

Answer 1

分析：（1）由割线定理可得EA•EC=BE•DE，进而得到结论；
（2）利用AB是⊙O的直径，可得∠ECB=90°．因此CD=

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2

EB．由EF⊥BF，可得FD=

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2

BE．进而证明结论．

解答：证明：（1）由割线定理得EA•EC=BE•DE，
∴BE•DE+AC•CE=EA•CE+AC•CE=CE²，
∴BE•DE+AC•CE=CE²；
（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ECB=90°．∴CD=

1

2

EB．
∵EF⊥BF，∴FD=

1

2

BE．
∴E，F，C，B四点与点D等距离．
∴E，F，C，B四点共圆．

点评：熟练掌握割线定理和直角三角形斜边的中线的性质及四点共圆的判定方法是解题的关键．