Question

（12分）在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；

（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；

（Ⅲ）求二面角C-PD-A的余弦值.

Answer 1

解析：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，AD＝4．

∴＝

．…………………………………………… 2分

则V＝．     ………………………………………… 4分

 

（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC．                ………………5分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD．则EF⊥PC．     ……………7分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．………………………………………8分

（Ⅲ）以A为坐标原点，AD,AP所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则平面PAD的法向量为：=（1，0，0）

由（Ⅱ）知AF⊥PC,AF⊥CD   ∴AF⊥平面PCD

∴为平面PCD的法向量.

∵P(0,0,2),C∴=

,即二面角C-PD-A的余弦值为…12分