Question

19．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若$\frac{{b}^{2}}{ac}$≥$\frac{co{s}^{2}B}{cosAcosC}$，则B的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{π}{6}$]
• B． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）
• C． （0，$\frac{π}{3}$]
• D． [$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）

Answer 1

分析 把已知的不等式化边为角、化弦为切，得到tan²B≥tanAtanC，由不等式中的等号成立求出B的范围，结合选项求得答案．

解答 解：在锐角△ABC中，由$\frac{{b}^{2}}{ac}$≥$\frac{co{s}^{2}B}{cosAcosC}$，得
$\frac{si{n}^{2}B}{sinAsinC}≥\frac{co{s}^{2}B}{cosAcosC}$，
∴tan²B≥tanAtanC，
由tan²B=tanAtanC，可知tanA、tanB、tanC成等比数列，
设公比为q，
则$tanA=\frac{tanB}{q}，tanC=q•tanB$，
∴tanB=-tan（A+C）=-$\frac{tanA+tanC}{1-tanA•tanC}$=$-\frac{tanB（q+\frac{1}{q}）}{1-ta{n}^{2}B}$，
∴$ta{n}^{2}B=1+q+\frac{1}{q}≥3$（q＞0），
∴tanB≥$\sqrt{3}$，B$≥\frac{π}{3}$．
结合选项可知，满足$\frac{{b}^{2}}{ac}$≥$\frac{co{s}^{2}B}{cosAcosC}$的B的取值范围为[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）．
故选：D．

点评 本题考查三角形的解法，考查了等比数列性质的应用，利用“≥”中的“=”成立是解答该题的突破口，属选择题中难度较大的问题．