Question

已知函数f(x)=sin2ωx+

3

sinωx•sin(ωx+

π

2

)（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，

2π

3

]上的取值范围．
（Ⅲ）函数f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到？

Answer 1

（Ⅰ）由题意知，f(x)=

1-cos2ωx

2

+

3

sinωx•cosωx
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

（3分）
∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0
∴

2π

2ω

=π，∴ω=1（14分）
（Ⅱ）f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

∵x∈[0，

2π

3

]，∴2x∈[0，

4π

3

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]，∴sin(2x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴f(x)∈[0，

3

2

]（7分）
即f（x）在区间[0，

2π

3

]上的取值范围是[0，

3

2

]．（8分）
（Ⅲ）把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍（纵坐标不变），
再把所得函数的图象向右平移

π

12

个单位，
再把所得函数的图象向上平移

1

2

个单位，可得到f（x）的图象．（12分）