Question

已知点P为圆x²+y²=4上的动点，且P不在x轴上，PD⊥x轴，垂足为D，线段PD中点Q的轨迹为曲线C，过定点M（t，0）（0＜t＜2）任作一条与y轴不垂直的直线l，它与曲线C交于A、B两点。
（1）求曲线C的方程；
（2）试证明：在x轴上存在定点N，使得∠ANB总能被x轴平分。

Answer 1

解：（1）设Q（x，y）为曲线C上的任意一点，则点P（x，2y）在圆上，
∴，曲线C的方程为．
（2）设点N的坐标为（n，0），直线l的方程为x=sy+t，　
代入曲线C的方程，可得，
∵0＜t＜2，
∴，　
∴直线l与曲线C总有两个公共点．（也可根据点M在椭圆C的内部得到此结论）
设点A，B的坐标分别，则，
要使∠ANB被x轴平分，只要，
即，，
也就是，，
即，即只要（nt-4）s=0，
当时，（*）对任意的s都成立，从而∠ANB总能被x轴平分，
所以在x轴上存在定点，使得∠ANB总能被x轴平分。