Question

若二项式(2cos2α+

1

cosα

)n（0＜α＜π）的展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列，且第6项为168，则a的值是

π

3

．

Answer 1

分析：先确定数列的通项，再利用第二、三、四项的二项式系数成等差数列，可确定n的值，利用第6项为168，即可求得α的值．

解答：解：展开式的通项为：T_r+1=

C

r n

(2cos2α)n-r(

1

cosα

)r=

C

r n

×2n-r×(cosα)2n-3r
∵第二、三、四项的二项式系数成等差数列，
∴2

C

2 n

=

C

1 n

+

C

3 n

，∴n²-9n+14=0，∴n=7或n=2（舍去）
∵第6项为168
∴

C

5 7

×22×(cosα)-1=168
∴cosα=

1

2

∵0＜α＜π
∴α=

π

3

故答案为：

π

3

点评：本题考查二项式定理，考查学生的计算能力，属于中档题．