Question

已知函数f(x)=

loga(ax2-4x+4)       (x≥1) (3-a)x+b                 (x≤1)

在（-∞，+∞）上是增函数，则b的取值范围是（　　）

A．[-1，0）

B．（-1，0]

C．（-1，1）

D．[0，1）

Answer 1

分析：由于分段函数在（-∞，+∞）上是增函数，则必使函数在每段上均是增函数，并且3-a+b≤log_aa=1
而在第一段上所给的函数是一个对数型复合函数，需依据复合函数的单调性得出a满足的不等式组，求出a的取值范围．

解答：解：由于函数f(x)=

loga(ax2-4x+4)       (x≥1) (3-a)x+b                 (x≤1)

在（-∞，+∞）上是增函数，
则函数f（x）=log_a（ax²-4x+4）在[1，+∞）上是增函数，f（x）=（3-a）x+b为增函数，并且3-a+b≤log_aa=1
（1）当x≥1时，f（x）=log_a（ax²-4x+4）
由于内层函数t=ax²-4x+4的图象开口向上，对称轴是x=

2

a

，
则内层函数在（-∞，

2

a

]是减函数，在（

2

a

，+∞）是增函数．
要使f（x）=log_a（ax²-4x+4）在（-∞，1]上是增函数，
故有

2 a ≤1 a＞1   a＞0

，解得a≥2
（2）当x＜1时，由于f（x）=（3-a）x+b为增函数，则3-a＞0，即a＜3
（3）由于3-a+b≤log_aa=1?a≥2+b
综上可知，2≤2+b＜3，故0≤b＜1
故答案为 D

点评：本题考查对数函数的单调性与一次函数的单调性及复合函数单调性的判断，解题的关键是运用函数的单调性转化出参数满足的不等式组，本题易因为忘记真数大于0的限制，导致所求的参数的范围过大，转化时要注意保证等价，本题考察了判断推理的能力，是对数中难度较大、综合性较强的题