Question

已知△ABC中三个角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若a=2，b+c=4，则△ABC面积的最大值为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：由a=2，b+c=4，得到点A在以2为长轴，为短轴的半椭圆上，如图所示，当A在椭圆与y轴的交点时，BC边上的高最大，此时三角形ABC为边长为2的等边三角形，求出等边三角形的面积，此时三角形面积最大．
解答：∵a=2，b+c=4，
∴点A在椭圆+=1在x轴上方的部分，如图所示：

当点A为椭圆+=1与y轴正半轴的交点（0，）时，△ABC的高最大，即△ABC面积的最大值，
此时b=c=2，又a=2，
∴△ABC为边长是2的等边三角形，
则△ABC面积的最大值为×2²=．
故选B
点评：此题考查了动点的轨迹方程，椭圆的性质，根据题意得出点A在椭圆+=1在x轴上方的部分，进而得出BC边上高的最大值是解本题的关键．