Question

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ccosA=

4

b

且△ABC的面积S≥2，
（1）求A的取值范围；
（2）求函数f(A)=cos2

A

2

+

3

sin2(

π

4

+

A

2

)-

3

2

的最值．

Answer 1

分析：（1）通过 ccosA=

4

b

，且△ABC的面积S≥2，得到B的正切值的范围，然后求角B的取值范围；
（2）由二倍角的三角函数公式及三角函数的诱导公式的基本关系，把f(A)=cos2

A

2

+

3

sin2(

π

4

+

A

2

)-

3

2

化为f(A)=sin(A+

π

6

)+

1

2

，由A的范围得到A+

π

6

的范围，进而得到f(A)=sin(A+

π

6

)+

1

2

的最大值．

解答：解：（1）S=

1

2

bcsinA
4=bccosA
则tanA=

1

2

S≥1
∴

π

4

≤A＜

π

2

（2）f(A)=

1

2

cosA+

3

2

sinA+

1

2

=sin(A+

π

6

)+

1

2

∵

5π

12

≤A+

π

6

＜

2π

3

∴f（A）无最小值，A=

π

3

时，f（A）取得最大值为

3

2

点评：本题是中档题，三角函数的二倍角公式、两角差正弦函数的应用，考查解三角形的面积等知识，解题的关键是利用二倍角公式对函数式的化简，考查计算能力．