Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-x²+x+（1-a）（

1

2

x²-x）（a∈R）．
（Ⅰ）若x=1是f（x）的极小值点，求实数a的取值范围及函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a≥1时，求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用x=1是f（x）的极小值点，建立条件关系，求实数a的取值范围及函数f（x）的极值；
（Ⅱ）利用导数研究函数的极值和端点值f（0），f（2）的大小，进而求函数的最大值．

解答：解：f'（x）=x²-2x+1+（1-a）（x-1）=（x-1）²+（1-a）（x-1）=（x-1）（x-a），
（Ⅰ）若x=1是f（x）的极小值，则a＜1，列表分析如下：

x	（-∞，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f极大值(a)=- 1 6 a3+ 1 2 a2	↘	f极小值（1）= 1 2 a- 1 6 ．	↗

∴f极大值(a)=-

1

6

a3+

1

2

a2，f_极小值（1）=

1

2

a-

1

6

．
（Ⅱ）当a=1时，函数f（x）在[0，2]上单调递增，最大值为f（2）=

2

3

；
当a＞1时，
（1）若a≥2，f（x）[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减．y_max=f（1）=

1

2

a-

1

6

．
（2）若1＜a＜2，f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增．
最大值可能为f（1）=

1

2

a-

1

6

．f（2）=

2

3

；
1）1≤a＜

5

3

时，最大值为f（2）=

2

3

；
2）

5

3

≤a＜2时，最大值为f（1）=

1

2

a-

1

6

．
综上所述：1≤a＜

5

3

时，最大值为f（2）=

2

3

；当

5

3

≤a＜2时时，最大值为f（1）=

1

2

a-

1

6

．

点评：本题主要考查函数的单调性，极值和最值与导数之间的关系，考查学生的运算能力，综合性较强．