Question

16．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，E为PD上异于P，D的一点．
（Ⅰ）设平面ABE与PC交于点F，求证EF∥CD；
（Ⅱ）若AD=AB=1，BC=$\sqrt{2}$，tan∠BPC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB∥CD，利用线面平行的判定定理得到AB∥平面PDC，再由线面平行的性质得到AB∥EF，由平行公理得到EF∥CD；
（Ⅱ）由已知求出BC长，进一步证明△PBC为直角三角形，求得PB，得到PD，然后求出底面直角梯形的面积，代入棱锥体积公式得答案．

解答 （Ⅰ）证明：如图，∵AB∥CD，CD?面PDC，AB?面PDC，
∴AB∥平面PDC，
又平面ABE∩平面PDC=EF，
∴AB∥EF，则EF∥CD；
（Ⅱ）解：由AD⊥CD，AB∥CD，AD=AB=1，BC=$\sqrt{2}$，
可得BD=$\sqrt{2}$，CD=2，
∴BC⊥BD，
又PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，
∴BC⊥平面PBD，则BC⊥PB．
∵tan∠BPC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴PB=$\sqrt{3}$，则PD=1，
又${S}_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}（1+2）×1=\frac{3}{2}$，
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×1=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．