Question

判断下列函数在x=1处是否可导.若可导，求出它的导数；若不可导，说明理由.

(1)f(x)=1-2x²;

(2)g(x)=|x-1|.

Answer 1

分析：利用导数的概念进行判断.函数f(x)在点x₀处可导，是指当Δx→0时，有极限.如果不存在极限，就说函数在点x₀处不可导，或说无导数.

解：(1)f(x)在1到1+Δx之间的增量是

Δy=f(1+Δx)-f(1)=［1-2(1+Δx)²］-(1-2×1²)=-4Δx-2(Δx)².

函数的平均变化率是==-4-2Δx.

所以=(-4-2Δx)=-4.

故f(x)=1-2x²在x=1处可导，并且f′(1)=-4.

(2)函数g(x)在1到1+Δx之间的增量是Δy=g(1+Δx)-g(1)=|1+Δx-1|-|1-1|=|Δx|.

函数g(x)=|x-1|在1到1+Δx之间的平均变化率是=.

当Δx>0时，==1，所以=1.

当Δx<0时，==-1，所以=-1.

所以当Δx→0时，的极限不存在，即g(x)在x=1处不可导.