题目内容

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an+2n+1 ， n∈N*．
（1）求证：{an-2}是等比数列；
（2）求数列{nan}前n项和Tn．
分析：（1）由Sn=4an+2n+1，可求得a1=-1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1⇒3an+2=4an-1⇒3（an-2）=4（an-1-2），从而可证{an-2}是等比数列；
（2）由（1）知an=2-3×(
4
3
)n-1，令bn=nan，Tn=b1+b2+…+bn=2（1+2+3+…+n）-3[1×(
4
3
)0+2×(
4
3
)1+3×(
4
3
)2+…+n×(
4
3
)n-1]，前者利用等差数列求和，后者利用错位相减法求和，再分别相加即可．
解答：解：（1）∵Sn=4an+2n+1，
∴S1=4a1+3，而S1=a1，
∴a1=-1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=（4an+2n+1）-[4an-1+2（n-1）+1]
=4an-4an-1+2，
∴3an+2=4an-1，
∴3an-6=4an-1-8，即3（an-2）=4（an-1-2），又a1-2=-3，
∴{an-2}是以-3为首项，公比为
4
3
等比数列．
∴an-2=-3×(
4
3
)n-1，
∴an=2-3×(
4
3
)n-1．
（2）∵an=2-3×(
4
3
)n-1，令bn=nan，
则bn=nan=2n-3n×(
4
3
)n-1，
∴Tn=b1+b2+…+bn
=2（1+2+3+…+n）-3[1×(
4
3
)0+2×(
4
3
)1+3×(
4
3
)2+…+n×(
4
3
)n-1]．
令Cn=1×(
4
3
)0+2×(
4
3
)1+3×(
4
3
)2+…+n×(
4
3
)n-1①，
4
3
Cn=1×(
4
3
)1+2×(
4
3
)2+…+（n-1）×(
4
3
)n-1+n×(
4
3
)n②，
①-②得：-
1
3
Cn=(
4
3
)0+(
4
3
)1+(
4
3
)2+…+(
4
3
)n-1-n×(
4
3
)n
=
1-(
4
3
)n
1-
4
3
-n×(
4
3
)n
=-3（1-(
4
3
)n）-n×(
4
3
)n
=（3-n）×(
4
3
)n-3，
∴Cn=（3n-9）×(
4
3
)n+9．
∴Tn=2×
n(1+n)
2
-3[（3n-9）×(
4
3
)n+9]
=-（9n-27）×(
4
3
)n+n2+n-27．
点评：本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定与其通项公式的应用，突出考查分组求和与错位相减法求和的综合应用，考查构造函数思想、转化思想与综合运算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}的前n项的和为Sn，且Sn=3n+1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=an（2n-1），求数列{bn}的前n项的和．
设数列an的前n项的和为Sn，a1=
3
2
，Sn=2an+1-3．
（1）求a2，a3；
（2）求数列an的通项公式；
（3）设bn=(2log
3
2
an+1)•an，求数列bn的前n项的和Tn．
设数列{an}的前n项和Sn=2an+
3
2
×（-1）n-
1
2
，n∈N*．
（Ⅰ）求an和an-1的关系式；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）证明：
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜
10
9
，n∈N*．
不等式组
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面区域为Dn，若Dn内的整点（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为an（n∈N*）
（1）写出an+1与an的关系（只需给出结果，不需要过程），
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设数列an的前n项和为Sn且Tn=
Sn
5•2n
，若对一切的正整数n，总有Tn≤m成立，求m的范围．
（2013•郑州一模）设数列{an}的前n项和Sn=2n-1，则
S4
a3
的值为（　　）

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