题目内容

如图，已知点B是椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的短轴位于x轴下方的端点，过B作斜率为1的直线交椭圆于点M，点P在y轴上，且PM∥x轴， $数学公式$ • $数学公式$ =9，若点P的坐标为（0，t），则t的取值范围是

A.
0＜t＜3
B.
0＜t≤3
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：由题意可得直线MB的方程为y=x-b，联立直线与椭圆方程可求M，由PM∥x轴可求P，结合已知及向量的数量积的定义，| $\text{[math]}$ || $\text{[math]}$ |cos45°=9可得| $\text{[math]}$ |=3，从而可得t=3-b= $\text{[math]}$ ，整理可得 $\text{[math]}$ ，由t=3-b＜b，a＞b可求t的范围
解答：由题意可得B（0，-b）
∴直线MB的方程为y=x-b
联立方程 $\text{[math]}$ 可得（a²+b²）x²-2ba²x=0
∴M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∵PM∥x轴
∴P（0， $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$ =（0， $\text{[math]}$ +b）， $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ +b）
∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =9，
由向量的数量积的定义可知，| $\text{[math]}$ || $\text{[math]}$ |cos45°=9
即| $\text{[math]}$ |=3
∵P（0，t），B（0，-b）
∴t=3-b= $\text{[math]}$
∴2a²b=3a²+3b²即 $\text{[math]}$
∵t=3-b＜b
∴b $\text{[math]}$ ，t $\text{[math]}$
由a＞b得 $\text{[math]}$ ＞b²
∴b＜3
∴t＞0
综上所述0＜t＜ $\text{[math]}$
故选C
点评：本题主要考查了直线与椭圆的相交关系的应用，向量的基本运算的应用及一定的逻辑推理与运算的能力．