Question

已知等差数列{a_n}满足前2项的和为5，前6项的和为3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=（4-a_n）•2ⁿ，（n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，根据等差数列的前n项和公式建立方程组，解之即可得到首项和公差，从而得到通项公式；
（2）根据数列{b_n}通项公式的特点可知利用错位相消的方法进行求和即可．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则

2a1+ 2×1 2 d=5 6a1+ 6×5 2 d=3

（2分）
解得

a1=3 d=-1

（4分）    
∴a_n=a₁+（n-1）d=4-n（6分）
（2）b_n=（4-a_n）•2ⁿ=n•2ⁿ（n≥1）（7分）
S_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ…①
2S_n=1•2²+2•2³…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹ …②
①-②，得-S_n=2+2²+2³…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹（11分） 
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹（13分）
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2（14分）

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，以及利用错位相消法求数列的和，同时考查了计算能力，属于中档题．