Question

如图，已知棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且AA₁⊥面ABCD，∠DAB=60°，AD=AA₁，F为棱AA₁的中点，M为线段BD₁的中点，
（1）求证：MF∥面ABCD；
（2）求证：MF⊥面BDD₁B₁．

Answer 1

分析：（1）连接AC、BD交于点O，再连接MO，证明OM∥AF且OM=AF，MF∥OA，然后证明MF∥面ABCD；
（2）通过底面是菱形，证明AC⊥面BDD₁B₁，然后证明MF⊥面BDD₁B₁．

解答：（1）证明：连接AC、BD交于点O，再连接MO，
∴OM∥

1

2

A1A且OM=

1

2

A1A，
又∵AF=

1

2

A1A，
∴OM∥AF且OM=AF，
∴四边形MOAF是平行四边形，
∴MF∥OA，
又∵OA?面ABCD，MF?面ABCD，
∴MF∥面ABCD；
（2）证明：∵底面是菱形，
∴AC⊥BD
又∵B₁B⊥面ABCD，AC?面ABCD
∴AC⊥B₁B，BD∩B₁B=B，
∴AC⊥面BDD₁B₁
又∵MF∥AC，
∴MF⊥面BDD₁B₁．

点评：本题考查空间想象能力，直线与平面平行的证明方法，判定定理的应用．