Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E为AB的中点．
（1）求A₁D与平面AD₁E所成的角；
（2）求二面角D-CE-D₁的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，可得四边形AA₁D₁D为正方形，可得A₁D⊥AD₁，由线面垂直的判定与性质，证出 A₁D⊥AE，从而得到AD₁⊥面AD₁E，即得A₁D与平面AD₁E所成的角为90°；
（2）连结DE，在矩形ABCD中证出DE⊥CE，由长方体的性质和线面垂直的性质证出DD₁⊥CE，从而得到CE⊥面DD₁E，得D₁E⊥CE，得出∠DED₁是二面角D-CE-D₁的平面角．Rt△DD₁E中利用三角函数的定义算出tan∠DED₁=

2

2

，即得二面角D-CE-D₁的平面角的正切值．

解答：解：（1）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AD=AA₁=1，∴A₁D⊥AD₁
又∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥侧面ADD₁A₁，
A₁D?侧面ADD₁A₁，
∴A₁D⊥AB即A₁D⊥AE，
∵AD₁∩AE=A，AD₁，AE?面AD₁E，
∴AD₁⊥面AD₁E，即A₁D与平面AD₁E所成的角为90°；
（2）连结DE，在矩形ABCD中，
∵AB=2，AD=1，且E为AB之中点，∴DE⊥CE且DE=

2

，
又∵DD₁⊥底面ABCD，CE?底面ABCD，∴DD₁⊥CE，
∵DD₁∩DE=D，DD₁、DE?面DD₁E，∴CE⊥面DD₁E，
∵D₁E?面DD₁E，∴D₁E⊥CE，
因此，∠DED₁是二面角D-CE-D₁的平面角
在Rt△DD₁E中，tan∠DED1=

DD1

DE

=

1

2

=

2

2

，即二面角D-CE-D₁的平面角的正切值为

2

2

．

点评：本题在长方体中求直线与平面所成角大小，并探索二面角的正切值．着重考查了长方体的性质、线面垂直的判定与性质和二面角的定义与求法等知识，属于中档题．