Question

【题目】如图所示，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点.

（1）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；

（2）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点.证明为定值，并求此定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；定值为8

【解析】

（1）根据抛物线标准方程得，从而易得焦点坐标和准线方程；

（2）设点的坐标分别为.直线的斜率为，则直线方程为，代入抛物线方程整理后可和，这样可得中点的坐标，由直线与垂直可得的方程，在此方程中令得，计算化简得定值．

解（1）设抛物线的标准方程为，则，从而.

因此焦点的坐标为（2，0），又准线方程的一般式为.

从而所求准线的方程为.

（2）设点的坐标分别为.直线的斜率为，则直线方程为.将此式代入，得.

故.

记直线与的交点为，则，.

故直线的方程为.

令，得点的横坐标，故

.

从而为定值.