Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC，M，N分别是CC₁，AB的中点．
（Ⅰ）求证：CN⊥AB₁；
（Ⅱ）求证：CN∥平面AB₁M．

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁⊥底面ABC，
所以BB₁⊥平面ABC，所以BB₁⊥CN．…（1分）
因为AC=BC，N是AB的中点，
所以CN⊥AB． …（3分）
因为AB∩BB₁=B，…（4分）
所以CN⊥平面AB B₁A₁． …（5分）
所以CN⊥AB₁． …（6分）
（Ⅱ）证法一：连接A₁B交AB₁于P． …（7分）
因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
所以P是A₁B的中点．
因为M，N分别是CC₁，AB的中点，
所以NP∥CM，且NP=CM，…（9分）
所以四边形MCNP是平行四边形，…（10分）
所以CN∥MP． …（11分）
因为CN?平面AB₁M，MP?平面AB₁M，…（12分）
所以CN∥平面AB₁M． …（14分）
证法二：取BB₁中点P，连接NP，CP． …（7分）
因为N，P分别是AB，BB₁的中点，
所以NP∥AB₁．
因为NP?平面AB₁M，AB₁?平面AB₁M，
所以NP∥平面AB₁M． …（10分）
同理 CP∥平面AB₁M． …（11分）
因为CP∩NP=P，
所以平面CNP∥平面AB₁M． …（13分）
因为CN?平面CNP，
所以CN∥平面AB₁M． …（14分）
分析：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁⊥底面ABC，所以BB₁⊥平面ABC，所以BB₁⊥CN，由此利用直线垂直于平面的性质，能够证明CN⊥AB₁．
（Ⅱ）法一：连接A₁B交AB₁于P．因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以P是A₁B的中点．再利用直线平行于平面的判定理，能够证明CN∥平面AB₁M．
法二：取BB₁中点P，连接NP，CP．因为N，P分别是AB，BB₁的中点，所以NP∥AB₁．再由平面与平面平行的性质定理，能够证明CN∥平面AB₁M．
点评：本题考查直线与直线垂直的证明和直线与平面的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化立体问题为平面问题．