Question

在△ABC中，sin

B

2

=sin

A

2

sin

C

2

．
（1）求tan

A

2

•tan

C

2

的值；
（2）求证：a+c=3b．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，A+B+C=π，即A=π-（B+C），或者

A

2

=

π

2

-

B+C

2

，结合诱导公式可以得到sinA=sin（B+C），cosA=-cos（B+C），
sin

A

2

=cos

B+C

2

，cos

A

2

=sin

B+C

2

等，然后利用两角和与差的余弦公式展开就可得到所求的值；
（2）先利用二倍角公式可知）sinB=2sin

B

2

cos

B

2

进而把sin

B

2

=sin

A

2

sin

C

2

代入利用两角和公式化简整理得3sinB=sinA+sinC进而利用正弦定理证明原式．

解答：解：（1）在△ABC中，A+B+C=π，即B=π-（A+C），
∴

B

2

=

π

2

-

B+C

2

，即sin

B

2

=COS

A+C

2

=cos

A

2

cos

C

2

-sin

A

2

sin

C

2

=sin

A

2

sin

C

2

∴cos

A

2

cos

C

2

=2sin

A

2

sin

C

2

∴tan

A

2

•tan

C

2

=

1

2

（2）sinB
=2sin

B

2

cos

B

2

=2sin

A

2

sin

C

2

cos

B

2

=sin

A

2

[sin

B+C

2

-sin

B-C

2

]
=

1

2

sinA-cos

B+C

2

sin

B-C

2

=

1

2

（sinA-sinB+sinC）
∴3sinB=sinA+sinC
根据正弦定理 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∴a+c=3b

点评：本题主要考查了两角和公式的应用，同角三角函数基本关系，正弦定理．